Question

如图，已知抛物线y=2x²-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l₁与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；
（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l₂上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．

Answer 1

解：（1）∵y=2x²-2，
∴当y=0时，2x²-2=0，x=±1，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，
又当x=0时，y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2），OC=2，
∴S_△ABC=AB•OC=×2×2=2；

（2）将y=6代入y=2x²-2，
得2x²-2=6，x=±2，
∴点M的坐标为（-2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．
∵平行四边形的面积为8，
∴MN边上的高为：8÷4=2，
∴P点纵坐标为6±2．
①当P点纵坐标为6+2=8时，2x²-2=8，x=±，
∴点P的坐标为（，8），点N的坐标为（-，8）；
②当P点纵坐标为6-2=4时，2x²-2=4，x=±，
∴点P的坐标为（，4），点N的坐标为（-，4）；

（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-2），
∴OB=1，OC=2．
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，
则=，即=，
解得DQ=2（m-1）=2m-2，
②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，
则=，即=，
解得DQ=．
综上所述，线段QD的长为2m-2或．
分析：（1）在二次函数的解析式y=2x²-2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=-2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）先将y=6代入y=2x²-2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x²-2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x²-2，求出x的值，得到点P的坐标；
（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，三角形、平行四边形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，注意要分情况讨论求解．