Question

如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点C（1，0），在抛物线上存在点B，使△ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，这样的点B有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

B
分析：先由A点和B点坐标得到OA=2，OC=1，作出以AC为直角边作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，作NE⊥x轴于E，再证明△ACO≌△CNE，则CE=OA=2，NE=OC=1，可确定N点坐标为（3，1），同理可得M（-1，-1）、P点坐标为（-2，1）、Q点坐标为（2，3），然后把x=3，-1，-2，2代入抛物线的解析式，通过计算出的对应的函数值判断点M、N、P、Q是否在抛物线上，从而确定满足条件的B的个数．
解答：解：∵点A（0，2），点C（1，0），
∴OA=2，OC=1，
以AC为直角边作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，如图，
作NE⊥x轴于E，
∵∠ACN=90°，
∴∠ACO+∠NCE=90°，
而∠NCE+∠CNE=90°，
∴∠CNE=∠ACO，
在△ACO和△CNE中，
，
∴△ACO≌△CNE（AAS），
∴CE=OA=2，NE=OC=1，
∴N点坐标为（3，1），
同理可得M（-1，-1）、P点坐标为（-2，1）、Q点坐标为（2，3），
当x=3时，=1；当x=-1时，=-1；当x=-2时，=1；当x=2时，=-1；
∴点N、M、P在抛物线上，
∴满足条件的B点有三个，即点B分别在点N、M、P处．
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了导尿管腰直角三角形的性质和三角形全等的判定与性质．