Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）如图2，当点N落在BD上时，求t的值；

（2）当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值；
（3）当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当点N落在BD上时，如图1．

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴ = ，

∵PN=PQ=PA=t，DP=6﹣t，QB=AB=8，

∴ = ，

∴t= ．

∴当t= s时，点N落在BD上

（2）

解：①如图2

，

则有QM=QP=t，MB=8﹣t．

∵四边形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵点O是DB的中点，

∴QM=BM．

∴t=8﹣t．

∴t=4．

②如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=8，AD=6，

∴DB=10．

∵点O是DB的中点，

∴DO=5，

∴1×t=AD+DO=6+5．

∴t=11．

∴当t=4s或11s时，正方形PQMN的边经过点O

（3）

解：①当0＜t≤ 时，如图4．

S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②当 ＜t≤6时，如图5，

∵tan∠ADB= = ，

∴ = ．

∴PG=8﹣ t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（8﹣ t）= t﹣8．

∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，

∴ = ．

∴NF= GN= （ ﹣8）= t﹣6．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣ ×（ t﹣8）×（ t﹣6

=﹣ t2+14t﹣24．

综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．

当 ＜t≤6时，S=﹣﹣ t2+14t﹣24

（4）

解：设直线DN与BC交于点E，

∵直线DN平分△BCD面积，

∴BE=CE=3．

①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，

则有△DPN∽△DHE．

∴ = ．

∵PN=PA=t，DP=6﹣t，DH=CE=3，EH=AB=8，

∴ = ，

解得；t= ．

②点P在DO上，连接OE，如图8，

则有OE=4，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴ = ，

∵DP=t﹣6，DO=5，OE=4，

∴PN= （t﹣6）．

∵PQ= （16﹣t），PN=PQ，

∴ （t﹣6）= （16﹣t）．

解得：t= ．

综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 s或 s

【解析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有 = ，即可求出t的值．（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，即可解决问题．（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成二类，如图4、图5，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．（4）由于点P在折线AD﹣DO运动，可分点P在AD上，点P在DO上两种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．