Question

图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h₁，h₂，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h₁与h₂满足的关系式，并求h₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值．
（2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得

h1

5

+

h2

5

=

9

17

即可知h₁的取值范围；②当点E，M重合时，则h₁=h₂，此时可知h₁的取值范围．

解答：解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形．
∵EF∥BD，
∴△ABD∽△AEF，
∴

EF

6

=

5-h1

5

，即EF=

6

5

(5-h1)
∴S=2S△OEF=EF×h1=

6

5

(5-h1)×h1=-

6

5

(h1-

5

2

)2+

15

2

所以当h1=

5

2

时，Smax=

15

2

．

（2）根据题意，得OE=OM．
如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，
①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM．
∵AB=

52+32

=

34

，
∴OR=

15

34

，
∴BR=

32-( 15 34 )2

=

9

34

由ML∥EK∥OB，
得

OK

OA

=

BE

AB

，

OL

OA

=

BM

AB

∴

OK

OA

+

OL

OA

=

BE

AB

+

BM

AB

=

2BR

AB

，
即

h1

5

+

h2

5

=

9

17

∴h1+h2=

45

17

，此时h₁的取值范围为0＜h1＜

45

17

且h1≠

45

34

，
②当点E，M重合时，则h₁=h₂，此时h₁的取值范围为0＜h₁＜5．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题．