如图a.b在平行四边形ABCD中.∠BAD.∠ABC的平分线AF.BG分别与线段CD两侧的延长线相交于点F.G.AF与BG相交于点E．(1)在图a中.求证:AF⊥BG.DF=CG,中的AF⊥BG.DF=CG成立．请解答下面问题:①若AB=10.AD=6.BG=4.求FG和AF的长,②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件.使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图a、b在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC的平分线AF，BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F，G，AF与BG相交于点E．
（1）在图a中，求证：AF⊥BG，DF=CG；

（2）在图b中，仍有（1）中的AF⊥BG，DF=CG成立．请解答下面问题：
①若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长；
②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由．

分析：（1）由平行线的性质及角平分线的性质即可证明结论；
（2）①由平行线的性质可得相似三角形，得出各边的长，进而再求解直角三角形即可；
②根据（1）、（2）的条件，满足点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形即可．

解答：

（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BG．
∵AD∥BC，∴∠AMB=∠CBG，
又BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴AB=AM，
又AB∥DC，
∴∠ABM=∠G，又∠AMB=∠GMD，
∴∠G=∠GMD，
∴DM=DG，即△GDM为等腰三角形，
同理可得△NCF为等腰三角形；
∵DF-CD=CG-CD，即DF=CG

（2）解：①由已知可得，AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线，且CF=GD，
∴FD=AD=6，
∴CF=10-6=4=GD，
∴FG=FD-GD=6-4=2．
可得，Rt△EFG∽Rt△EAB，
∴

，
∵BG=4，
∴GE=

，BE=

，
则在直角三角形EFG中，根据勾股定理得：EF=

FG2-EG2

，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理得：AE=

AB2-BE2

，
勾股定理可得AF=EF+AE=8

；

②AB=2AD，∠A=90°．
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形，
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴只能使其角为直角，即∠A=90°，
而由（1）、（2）可得，边长则需满足1：2的关系，即AB=2AD．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形及勾股定理和相似三角形的运用，应熟练掌握．

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（1）矩形ABCD的面积为

192

；
（2）第1个平行四边行OBB₁C的面积为

；
第2个平行四边形A₁B₁C₁C的面积为

；
（3）第n个平行四边形的面积为

192×(

)n（或

192

）

192×(

)n（或

192

）