Question

（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-

2

3

，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到

DG

BC

=

DE

BE

，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；
（3）利用待定系数法求得直线BE为：y=

3

4

x+

1

2

．则易求P（1，

5

4

）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=

4

3

t，DN=

4

3

t-1．所以
S=S_△PND+S_梯形PDCM-S_△MNC=-

2

3

t2+

4

3

t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值．

解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（-

2

3

，0），
则

c=2 2=4a+2b+c 4 9 a- 2 3 b+c=0

，
解得，

a=- 9 8 b= 9 4 c=2

，
∴该二次函数的解析式为：y=-

9

8

x²+

9

4

x+2；


（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得
ED=

2

3

+1=

5

3

，EC=2+

2

3

=

8

3

，BC=2，
∴BE=

64 9 +4

=

10

3

．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴

DG

BC

=

DE

BE

，
∴DG=1．
∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，
∴BE是⊙D的切线；

（3）由题意，得E（-

2

3

，0），B（2，2）．
设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则

2k+h=2 - 2 3 k+h=0

，
解得，

k= 3 4 h= 1 2

，
∴直线BE为：y=

3

4

x+

1

2

．
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标y=

5

4

，即P（1，

5

4

）．
∵MN∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴

CN

EC

=

MC

BC

，
∴

CN

8 3

=

t

2

，则CN=

4

3

t，
∴DN=

4

3

t-1，
∴S_△PND=

1

2

DN•PD=

1

2

（

4

3

t-1）•

5

4

=

5

6

t-

5

8

．
S_△MNC=

1

2

CN•CM=

1

2

×

4

3

t•t=

2

3

t²．
S_梯形PDCM=

1

2

（PD+CM）•CD=

1

2

•（

5

4

+t）•1=

5

8

+

1

2

t．
∵S=S_△PND+S_梯形PDCM-S_△MNC=-

2

3

t2+

4

3

t（0＜t＜2）．
∵抛物线S=-

2

3

t2+

4

3

t（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S存在最大值．当t=1时，S_最大=

2

3

．

点评：本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在（3）题中的应用．