Question

设A是给定的正有理数．
（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x²-y²=y²-z²=A．
（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x²-y²=y²-z²=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．

Answer 1

解：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a²+b²=c²，ab=A，
若a=b，则2a²=c²，=，这与a，c都是有理数的假定矛盾，故a≠b．
不妨设a＜b，取x=，y=，z=，则x，y，z都是有理数，
且x²-y²==ab=A，y²-z²==ab=A．

（2）设三个有理数x，y，z满足x²-y²=y²-z²=A，则x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，则a，b，c都是有理数，
且a²+b²=2（x²+z²）=4y²=c²，ab=（x²-z²）=[（x²-y²）+（y²-z²）]=A．
即存在一个三边长a，b，c都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．
分析：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a²+b²=c²，ab=A，由若a=b，求得=，可知a≠b；所以设a＜b，x=，y=，z=即可证得结论；
（2）设三个有理数x，y，z满足x²-y²=y²-z²=A，则x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，代入检验即可证得结论．
点评：此题考查了有理数知识与完全平方式的应用．题目难度较大，注意构造符合要求的有理数是解题的关键．