Question

如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．
（1）求证：DE=AF；
（2）若⊙O的半径为

3

2

，AB=

2

+1，求

AE

ED

的值．

Answer 1

分析：（1）连接EF、EP、FP，由四边形ABCD为正方形，则∠BAD=90°，∠BPA=90°，得到∠FPE=90°，所以∠BPF=∠APE，易证△BPF≌△APE，则BF=AE，即可得到DE=AF；
（2）连EF，由∠BAD=90°，得到EF为⊙O的直径，即EF=

3

，所以AF²+AE²=EF²=（

3

）²=3，而DE=AF，所以DE²+AE²=EF²=（

3

）²=3；
再由AD=AE+ED=AB=

2

+1，这样得到关于DE，AE的方程组，解方程组求出DE，AE，即可得到

AE

ED

的值．

解答：（1）证明：连接EP、FP，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，∠BPA=90°
∴∠FPE=90°，
∴∠BPF=∠APE，
又∵∠FBP=∠PAE=45°，
∴△BPF≌△APE，
∴BF=AE，
而AB=AD，
∴DE=AF；

（2）解：连EF，
∵∠BAD=90°，
∴EF为⊙O的直径，
而⊙O的半径为

3

2

，
∴EF=

3

，
∴AF²+AE²=EF²=（

3

）²=3①，
而DE=AF，
DE²+AE²=3；
又∵AD=AE+ED=AB，
∴AE+ED=

2

+1②，
由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=

2

或AE=

2

，ED=1，
所以：

AE

ED

=

2

2

或

AE

ED

=

2

．

提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP
（2）设：AE=x，ED=AF=y
可得：x+y=

2

+1和x²+y²=3，
解得x=

2

，y=1或x=1，y=

2

，
所以：

AE

ED

=

2

2

或

AE

ED

=

2

．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为直角、圆内接四边形的性质、正方形的性质以及方程组的解法．