Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．
求证：（1）AE=CF；
（2）S_{四边形AEPF}=S_△ABC．

Answer 1

证明：（1）连接AP．

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP=PC=BP（直角三角形斜边上的中线是斜边长的一半）；
在直角三角形ABP中，∠B=∠BAP=45°；
在直角三角形APC中，∠PAC=∠C=45°；
∴∠EAP=∠C=45°；
∵∠FPE=∠APC=90°，
∴∠CPF=∠APE；
∴在△AEP与△CPF中，
∠EAP=∠C=45°，
AP=CP，
∠CPF=∠APE，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵△AEP≌△CPF，
∴S_△AEP=S_△CPF（全等三角形的面积相等）；
又∵S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APC=S_△ABC；
即S_{四边形AEPF}=S_△ABC．
分析：连接AP．
（1）根据全等三角形的判定定理ASA证明△AEP≌△CFP，然后由全等三角形的对应边相等求得AE=CF；
（2）利用“割补法”求得S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，然后利用（1）的结果知S_△AEP=S_△CPF，∴S_{四边形AEPF}=S_△APC=S_△ABC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．
①三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS）；②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
④有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；
⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等．