Question

已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，cos∠AEF=，
（1）当BE=4时，求EF长．
（2）若CE=2，求EF的长．

Answer 1

解：（1）∵AE⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFE=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠AEF=90°，
∴∠B=∠AEF，
∵cos∠AEF=，
∴cosB=，
在Rt△BFE中，∵cosB=，BE=4，
∴BF=2.4，
由勾股定理得：EF==3.2；

（2）由（1）知cos∠AEF=cosB=，
∵cosB==，
∴设BF=4k，则BE=5k，在Rt△BFE中，由勾股定理得：EF=3k，
∵在Rt△AFE中，cos∠AEF==，
∴=，
AE=k，
由勾股定理得：AF==k，
∵AB=BC，EC=2，AB=BF+AF，BC=BE+CE，
∴4k+k=5k+2，
解得：k=，
∴EF=3k=．
分析：（1）求出∠B=∠AEF，求出cosB=，根据cosB=求出BF=2.4，根据勾股定理求出EF即可；
（2）根据cosB==设BF=4k，则BE=5k，在Rt△BFE中，由勾股定理求出EF=3k，在Rt△AFE中求出AE=k，由勾股定理求出AF=k，根据AB=BC得出方程4k+k=5k+2，求出k即可．
点评：本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生的推理和计算能力．