Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．若E、F分别在AD、DC的延长线上，
求证：AE=EF+CF．

Answer 1

分析：在AE上截取AM=CF，首先证明△ABM≌△CBF，进而得出∠ABM=∠CBF，BM=BF，再利用四边形内角和得出∠EBM=60°，即可证出△BME≌△BFE，即可得出答案．

解答：证明：在AE上截取AM=CF，
在△ABM和△CBF中

AB=BC ∠A=∠BCF AM=CF

，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴∠ABM=∠CBF，BM=BF
∵∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，
∴∠CBA=120°，
∴∠FBM=120°，
∵∠EBF=60゜，
∴∠EBM=60°，
在△BME和△BFE中

BM=BF ∠MBE=∠FBE BE=BE

∴△BME≌△BFE（SAS），
∴EF=EM，
∴AE=EF+CF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题截长的目的是为了构造两对全等三角形，本题不宜用补短法，因无法构造两对全等三角形．