Question

一只青蛙在平面直角坐标系上从点(1，1)开始，可以按照如下两种方式跳跃：

①能从任意一点(a，b)，跳到点(2a，b)或(a，2b)；

②对于点(a，b)，如果a＞b，则能从(a，b)跳到(a－b，b)；如果a＜b，则能从(a，b)跳到(a，b－a)．

例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点(3，1)，跳跃的一种路径为：(1，1)→(2，1)→(4，1)→(3，1)．

请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点(1，1)出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．

(1)(3，5)；(2)(12，60)；(3)(200，5)；(4)(200，6)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)能到达点(3，5)和点(200，6)． 　　从(1，1)出发到(3，5)的路径为： 　　(1，1)→(2，1)→(4，1)→(3，1)→(3，2)→(3，4)→(3，8)→(3，5)． 　　从(1，1)出发到(200，6)的路径为： 　　(1，1)→(1，2)→(1，4)→(1，3)→(1，6)→(2，6)→(4，6)→(8，6)→(16，6)→(10，6)→(20，6)→(40，6)→(80，6)→(160，6)→(320，6)→(前面的数反复减20次6)→(200，6)． 　　(2)不能到达点(12，60)和(200，5)． 　　理由如下： 　　∵a和b的公共奇约数＝a和2b的公共奇约数＝2a和b的公共奇约数， 　　∴由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数． 　　∵如果a＞b，a和b的最大公约数＝(a－b)和b的最大公约数， 　　如果a＜b，a和b的最大公约数＝(b－a)和b的最大公约数， 　　∴由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数． 　　从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数． 　　∵1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5． 　　∴从(1，1)出发不可能到达给定点(12，60)和(200，5)．