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【题目】已知,抛物线(a0)经过点A(4,4)

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,抛物线上存在点B,使得AOB是以AO为直角边的直角三角形,请直接写出所有符合条件的点B的坐标:

(3)如图2,直线l经过点C(0,﹣1),且平行与x轴,若点D为抛物线上任意一点(原点O除外),直线DO交l于点E,过点E作EFl,交抛物线于点F,求证:直线DF一定经过点G(0,1).

【答案】(1);(2)B(﹣4,4)或(﹣8,16);(3)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,(2)分两种情况,先确定出直线OB或AB,和抛物线解析式联立确定出点B的解析式;

(3)先设出点D坐标,确定出点F坐标,进而得出直线DF解析式,将点G坐标代入直线DF看是否满足解析式.

试题解析:(1)抛物线(a0)经过点A(4,4),16a=4,a=抛物线的解析式为,(2)存在点B,使得AOB是以AO为直角边的直角三角形,理由:如图1,使得AOB是以AO为直角边的直角三角形直角顶点是点O,或点A,①当直角顶点是点O时,过点O作OBOA,交抛物线于点B,点A(4,4),直线OA解析式为y=x,直线OB解析式为y=﹣x,(舍)或B(﹣4,4),②当直角顶点为点A,过点A作ABOA,由①有,直线OA的解析式为y=x,A(4,4),直线AB解析式为y=﹣x+8,解得:(舍)或B(﹣8,16),满足条件的点B(﹣4,4)或(﹣8,16);故答案为:B(﹣4,4)或(﹣8,16);

(3)证明:设点D(m,),直线DO解析式为lx轴,C(0,﹣1),令y=﹣1,则x=直线DO与l交于E(,﹣1),EFl,lx轴,F横坐标为点F在抛物线上,F(设直线DF解析式为y=kx+b,直线DF解析式为点G(0,1)满足直线DF解析式,直线DF一定经过点G.

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