【题目】已知,抛物线(a≠0)经过点A(4,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,抛物线上存在点B,使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形,请直接写出所有符合条件的点B的坐标: .
(3)如图2,直线l经过点C(0,﹣1),且平行与x轴,若点D为抛物线上任意一点(原点O除外),直线DO交l于点E,过点E作EF⊥l,交抛物线于点F,求证:直线DF一定经过点G(0,1).
【答案】(1);(2)B(﹣4,4)或(﹣8,16);(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,(2)分两种情况,先确定出直线OB或AB,和抛物线解析式联立确定出点B的解析式;
(3)先设出点D坐标,确定出点F坐标,进而得出直线DF解析式,将点G坐标代入直线DF看是否满足解析式.
试题解析:(1)∵抛物线(a≠0)经过点A(4,4),∴16a=4,∴a=,∴抛物线的解析式为,(2)存在点B,使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形,理由:如图1,∵使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形,∴直角顶点是点O,或点A,①当直角顶点是点O时,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,∵点A(4,4),∴直线OA解析式为y=x,∴直线OB解析式为y=﹣x,∵,∴(舍)或,∴B(﹣4,4),②当直角顶点为点A,过点A作AB⊥OA,由①有,直线OA的解析式为y=x,∵A(4,4),∴直线AB解析式为y=﹣x+8,∵,解得:(舍)或,∴B(﹣8,16),∴满足条件的点B(﹣4,4)或(﹣8,16);故答案为:B(﹣4,4)或(﹣8,16);
(3)证明:设点D(m,),∴直线DO解析式为,∵l∥x轴,C(0,﹣1),令y=﹣1,则x=,∴直线DO与l交于E(,﹣1),∵EF⊥l,l∥x轴,∴F横坐标为,∵点F在抛物线上,∴F(,).设直线DF解析式为y=kx+b,∴,∴,∴直线DF解析式为,∴点G(0,1)满足直线DF解析式,∴直线DF一定经过点G.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】万州区教委为了贯彻国家对中小学的教育政策,要求全区各中小学教师做到提质减负,现要调查你校学生学业负担是否过重,选用下列哪种方法最恰当( )
A.查阅文献资料B.对学生问卷调查
C.上网查询D.对校领导问卷调查
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】大树的价值很多,可以吸收有毒气体,防止大气污染,增加土壤肥力,涵养水源,为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值,累计计算,一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元,其中160万元用科学记数法表示为( )
A.1.6×105
B.1.6×106
C.1.6×107
D.1.6×108
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