Question

矩形ABCD中，点E是AD中点，EF⊥CE交AB于F，连CF．
（1）求证：EF平分∠AFC；
（2）若

AF

AE

=

1

2

，求

BF

CF

．

Answer 1

考点：矩形的性质,角平分线的性质

专题：计算题,证明题

分析：（1）延长FE交CD的延长线于点G，即可证明△AEF≌△DEG，得到EF=EG，则CE是FG的中垂线，得到CF=CG，根据等边对等角以及平行线的性质即可证得；
（2）AE=2x，则ED=AE=2x，AD=BC=4x，证明△AEF∽△DCE，即可利用x表示出CD的长，则CF=CG即可求得长度，在直角△BCF中，利用勾股定理即可求得BF，从而求解．

解答：解：（1）延长FE交CD的延长线于点G．
在△AEF和△DEG中，

∠A=∠EDG AE=DE ∠AEF=∠DEG

，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG，
又∵EF⊥CE，
∴CF=CG，
∴∠G=∠CFG，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFG，即EF平分∠AFC；
（2）设AF=x，
∵

AF

AE

=

1

2

，
∴AE=2x，则ED=AE=2x，AD=BC=4x．
∵EF⊥CE，即∠CEF=90°，∠AEF+∠CED=90°，
又∵直角△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠CED，
又∵∠A=∠CDE=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴

DE

CD

=

AF

AE

=

1

2

，
∴CD=2DE=4x．
∴CF=CG=CD+DG=5x．
在直角△BCF中，BF=

CF2-BC2

=3x，
则

BF

CF

=

3

5

．

点评：本题是相似三角形以及线段的垂直平分线的性质的综合应用，正确作出辅助线是关键．