Question

把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点C作CD⊥x轴于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴=，
∴==2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴==，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵抛物线过点A（0，4），
∴设抛物线解析式为：y=ax²+bx+4，
又∵抛物线过B（2，0），C（4，1），
∴解得：a=，b=-，
∴抛物线解析式为：y=x²-x+4；

（2）由（1）中求出的抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为：直线x=-=，
作A关于直线x=的对称点A′，则A′（，4），
作M关于x轴的对称点M′，则M′（0，-2），
连接A′M′交x轴于点E，交直线x=于点F，
则此时点P经过的路线最短，
由对称性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′==，
∵直线A′M′解析式为：y=x-2，
∴E（，0），F（，1）；

（3）∵A（0，4），B（2，0），C（4，1），
∴设过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b（k≠0），则，
∴过A、C两点的直线解析式为：y=-x+4，
设Q（x，-x+4），
①若QB=QC时，则（x-2）²+（-x+4）²=（x-4）²+（-x+4-1）²，解得x=2，
即Q₁（2，）；
同理，②若QC=BC时，Q₂（）；
③若QB=BC时，Q₃（）．
分析：（1）过点C作CD⊥x轴于D，由A（0，4），AO=2BO，可知OB=2，B（2，0），再根据∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC可得出△ABC∽△AOB，由相似三角形的性质可知==2，由相似三角形的判定定理可得出△AOB∽△BDC，故可求出C点坐标，利用待定系数法求出过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；
（2）求出（1）中抛物线的对称轴方程，作A关于直线x=的对称点A′，作M关于x轴的对称点M′，连接A′M′交x轴于点E，交直线x=于点F，此时点P经过的路线最短，由对称性得：ME+FE+FA=A′M′，再根据勾股定理求出A′M′的长，得出直线直线A′M′的解析式，故可得出EF两点的坐标；
（3）先用待定系数法求出过A、C两点的直线解析式，设Q（x，-x+4），再分QB=QC；QC=BC；QB=BC三种情况利用两点间的距离公式求出x的值，进而得出Q点的坐标即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的对称轴公式和待定系数法求抛物线的解析式、两点间的距离公式，在解答（3）时要注意分类讨论．