Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

Answer 1

分析：（1）先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出

PD

AP

=

BC

AC

=

1

2

，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比例即可求出答案；
（2）由△EPD∽△EAP，得

DE

PE

=

PD

AP

=

1

2

，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为点H，由PD∥HE可得出

HE

PD

=

AE

AD

=

4

3

，进而可得出y与x的关系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得

PE

HE

=

AB

AC

，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，（1分）
∴

PD

AP

=

BC

AC

=

1

2

，（1分）
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴

PE

AE

=

PD

AP

=

1

2

．（1分）
∴AE=2PE．（1分）

（2）由△EPD∽△EAP，得

DE

PE

=

PD

AP

=

1

2

，
∴PE=2DE，（1分）
∴AE=2PE=4DE，（1分）
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP=x，
∴PD=

1

2

x，
∵PD∥HE，
∴

HE

PD

=

AE

AD

=

4

3

．
∴HE=

2

3

x．（1分）
又∵AB=2

5

，y=

1

2

（2

5

-x）•

2

3

x，即y=-

1

3

x²+

2 5

3

x．（1分）
定义域是0＜x＜

8 5

5

．（1分）

另解：由△EPD∽△EAP，得

DE

PE

=

PD

AP

=

1

2

，
∴PE=2DE．（1分）
∴AE=2PE=4DE．（1分）
∴AE=

4

3

×

5

2

x=

2 5

3

x，（1分）
∴S_△ABE=

1

2

×

2 5

3

x×2=

2 5

3

x，
∴

S△BEP

S△ABE

=

BP

AB

，即

y

2 5 3

=

2 5 -x

2 5

，
∴y=-

1

3

x²+

2 5

3

x．（1分）
定义域是0＜x＜

8 5

5

．（1分）

（3）由△PEH∽△BAC，得

PE

HE

=

AB

AC

，
∴PE=

2

3

x•

5

2

=

5

3

x．（1分）
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．
（i）当∠BEP=90°时，

PE

PB

=

BC

AB

，
∴

5 3 x

2 5 -x

=

1

5

．
解得x=

3 5

4

．（1分）
∴y=-

1

3

x×

9

16

×5+

2 5

3

×

3 5

4

=

25

16

．（1分）
（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=

3 5

2

，（1分）
y=

5

4

．（1分）

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．