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【题目】某公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元,经市场调查发现,日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80,当x=50时,y=100.

(1)求y与x的函数解析式;

(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式;

(3)求当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大利润是多少元?

【答案】(1)y=﹣2x+200(30≤x≤60);(2)w=﹣2x2+260x﹣6000;(3)当销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大利润是2400元.

【解析】

试题分析:(1)根据日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80,当x=50时,y=100,可以求得y与x的函数解析式;

(2)根据公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元,和第一问中求得的y与x的函数解析式,可以求得该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式;

(3)将第(2)问中的函数解析式化为顶点式,然后根据二次项系数和对称轴和x的取值范围可以确定当销售单价为多少元时,该公司日获利最大,最大利润是多少元.

解;(1)由题意可得,设y与x的函数解析式是:y=kx+b,

当x=60时,y=80,当x=50时,y=100,

解得k=﹣2,b=200.

即y与x的函数解析式是:y=﹣2x+200(30≤x≤60);

(2)由题意可得,

w=(x﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+260x﹣6000,

即该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式是:w=﹣2x2+260x﹣6000;

(3)w=﹣2x2+260x﹣6000

w=﹣2(x﹣65)2+2450

当x<65时,y随x的增大而增大,

30≤x≤60

当x=60时,w取得最大值,此时w=﹣2(60﹣65)2+2450=2400(元),

即当销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大利润是2400元.

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