Question

如图，在?ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F．
（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；
（2）求证：BE=DF．

Answer 1

（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DF∥BE，
∴∠AFD=∠CEB，
即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，
∴△AFD≌△CEB（AAS）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵DF∥BE，
∴∠AFD=∠CEB，
∴∠AEB=∠DFC（等角的补角相等），
即∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，
∴△ABE≌△CDF；

（2）证明：∵由（1）知：△AFD≌△CEB，
∴BE=DF．
分析：（1）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据SSS证出△ABC≌△CDA即可；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据AAS证出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可；
（2）由△AFD≌△CEB推出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，难度适中．