Question

7．已知一次函数y=kx+2的图象于x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，且OC=OD，在直线CD找到一点P，使得点P到A（4，0）、B（10，0）距离和最小，求出点P坐标，并算出PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 根据已知条件得到C（-2，0），D（0，2），∠DCO=45°，一次函数的解析式为y=x+2，作A关于直线y=x+2的对称点A′，得到AA′⊥CD，PA+PB的最小值=A′B，求得A′（-2，6），直线A′B的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，列方程组得到P（2，4），根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵OC=OD，
∴C（-2，0），D（0，2），
∴∠DCO=45°，一次函数的解析式为y=x+2，
作A关于直线y=x+2的对称点A′，
∴AA′⊥CD，PA+PB的最小值=A′B，
∴A′（-2，6），
∴直线A′B的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+5}\\{y=x+2}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴P（2，4），
∴A′B=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴PA+PB的最小值为6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确的作出图形是解题的关键．