Question

如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6．
（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA₁B₁；
（2）线段OA₁的长度是______，∠AOB₁的度数是______；
（3）连接AA₁，求证：四边形OAA₁B₁是平行四边形．

Answer 1

（1）解：△OA₁B₁如图所示．

（2）解：根据旋转的性质知，OA₁=OA=6．
∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA₁B₁，
∴∠BOB₁=90°．
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，
∴∠BOA=∠OBA=45°，
∴∠AOB₁=∠BOB₁+∠BOA=90°+45°=135°，即∠AOB₁的度数是135°．
故答案是：6，135°；

（3）证明：根据旋转的性质知，△OA₁B₁≌△OAB，
则∠OA₁B₁=∠OAB=90°，A₁B₁=AB，
∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA₁B₁，
∴∠A₁OA=90°，
∴∠OA₁B₁=∠A₁OA，
∴A₁B₁∥OA．
又∵OA=AB，
∴A₁B₁=OA，
∴四边形OAA₁B₁是平行四边形．
分析：（1）根据旋转中心为点O，旋转方向逆时针，旋转角度90°得到点A、B的对应点A₁，B₁，顺次连接O、A₁、B₁即可得到△OA₁B₁；
（2）根据旋转的性质知，旋转图形的对应边、对应角都相等；
（3）根据平行四边形的判定定理“对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明．
点评：本题考查了作图--旋转变换，平行四边形的判定．旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心不同，位置就不同，但得到的图形全等．