Question

2．如图1，点A的坐标是（-2，0），直线y=-$\frac{4}{3}$x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于$\frac{21}{10}$？
②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得点B的坐标为（3，0），令x=0，可求得点C的坐标为（0，4），由勾股定理可求得BC=5，然后由点A和点B的坐标可知AB=5，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）①如图①当M在AO上时，过点N作NH⊥AB，垂足为H．由题意可求得$NH=\frac{4}{5}t$，MO=2-t，由三角形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}$•OM•NH，从而可求得s与t的函数关系式；如图②所示：当M在OB上时，过点N作NH⊥AB，垂足为H．由题意可求得$NH=\frac{4}{5}t$，MO=t-2，由三角形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}$•OM•NH，从而可求得s与t的函数关系式；将S=$\frac{21}{10}$代入函数解析式，的关于t的一元二次方程，从而可求得t的值；②当0＜t≤2时，∠MON＞90°的可能，所以△ONM为钝角三角形；当2＜t＜5时，当∠OMN=90°时，如图③所示：由$\frac{BM}{NB}=\frac{OB}{BC}$，列出关于t的方程求解即可；当t=5时．如图④，N与C重合，可得∠OMN=90°．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由：∵令y=0得：-$\frac{4}{3}x+4$=0，解得：x=3，
∴B（3，0）．
∵当x=0时，y=4，
∴C（0，4）．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=4，由勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
∵点A的坐标是（-2，0），点B的坐标为（3，0），
∴BA=5．
∴BC=BA，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）①如图①当M在AO上时，过点N作NH⊥AB，垂足为H．

∵在Rt△BNH中，BN=t，$sinB=\frac{4}{5}$，
∴$NH=\frac{4}{5}t$．
∵OM=OA-AM，
∴MO=2-t．
∴S=$\frac{1}{2}$•OM•NH=$\frac{1}{2}$（2-t）×$\frac{4}{5}$t=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}t$（0＜t≤2）．
如图②所示：当M在OB上时，过点N作NH⊥AB，垂足为H．

∵OM=AM-AO，
∴OM=t-2．
∴S=$\frac{1}{2}$•OM•NH=$\frac{1}{2}$（t-2）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{4}{5}t$．（2＜t≤5）．
综上所述，S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t（0＜t≤2）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-\frac{4}{5}t（2＜t≤5）}\end{array}\right.$．
把S=$\frac{21}{10}$代入S=$-\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t，得$-\frac{2}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t=$\frac{21}{10}$，该方程无解，t值不存在．
把S=$\frac{21}{10}$代入S=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{4}{5}$t，得$\frac{2}{5}$t²-$\frac{4}{5}$t=$\frac{21}{10}$，解得，t₁=3.5，t₂=-1.5（舍去负值）．
因此，当t=3.5时，S=$\frac{21}{10}$．
②当0＜t≤2时，∠MON＞90°的可能，所以△ONM为钝角三角形．
当2＜t＜5时，当∠OMN=90°时，如图③所示：

在Rt△BNM中，BN=t，BM=5-t，$cosB=\frac{3}{5}$，
∵MN∥OC，
∴$\frac{BM}{NB}=\frac{OB}{BC}$，即$\frac{5-t}{t}=\frac{3}{5}$．解得$t=\frac{25}{8}$．
当t=5时．如图④，N与C重合，可得∠OMN=90°．

所以，当$t=\frac{25}{8}$或者t=5时，△MON为直角三角形．
综上所述t=5或t=$\frac{25}{8}$时，△MON为直角三角形．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了坐标轴上点的坐标特点、三角形的面积公式、锐角三角形函数的定义，相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，根据题意画出符合题意得图形是解题的关键．