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(2012•绵阳)如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+
1
6
x+c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1).已知AM=BC.
(1)求二次函数的解析式;
(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N.
①若直线l⊥BD,如图1,试求
1
BP
+
1
BQ
的值;
②若l为满足条件的任意直线.如图2.①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例.
分析:(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式;
(2)首先求出D点的坐标,可得AD=BC且AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形;再根据B、D点的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形.
①推出AC∥直线l,从而根据平行线间的比例线段关系,求出BP、CQ的长度,计算出
1
BP
+
1
BQ
=
1
5

②判定△PAD∽△DCQ,得到AP•CQ=25,利用这个关系式对
1
BP
+
1
BQ
进行分式的化简求值,结论为
1
BP
+
1
BQ
=
1
5
不变.
解答:解:(1)∵二次函数y=ax2+
1
6
x+c的图象经过点B(-3,0),M(0,-1),
9a+
1
6
×(-3)+c=0
c=-1

解得a=
1
6
,c=-1.
∴二次函数的解析式为:y=
1
6
x2+
1
6
x-1.

(2)由二次函数的解析式为:y=
1
6
x2+
1
6
x-1,
令y=0,得
1
6
x2+
1
6
x-1=0,
解得x1=-3,x2=2,∴C(2,0),∴BC=5;
令x=0,得y=-1,∴M(0,-1),OM=1.
又AM=BC,∴OA=AM-OM=4,∴A(0,4).
设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,
则yD=
1
6
x2+
1
6
x-1=OA=4,
解得x1=5,x2=-6(位于第二象限,舍去)
∴D点坐标为(5,4).
∴AD=BC=5,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形.
设直线BD解析式为:y=kx+b,∵B(-3,0),D(5,4),
-3k+b=0
5k+b=4

解得:k=
1
2
,b=
3
2

∴直线BD解析式为:y=
1
2
x+
3
2


(3)在Rt△AOB中,AB=
OA2+OB2
=5,又AD=BC=5,∴?ABCD是菱形.
①若直线l⊥BD,如图1所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴AC∥直线l,
BA
BP
=
BC
BQ
=
BN
BD
=
1
2

∵BA=BC=5,
∴BP=BQ=10,
1
BP
+
1
BQ
=
1
10
+
1
10
=
1
5

②若l为满足条件的任意直线,如图2所示,此时①中的结论依然成立,理由如下:
∵AD∥BC,CD∥AB,
∴△PAD∽△DCQ,
AP
CD
=
AD
CQ

∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25.
1
BP
+
1
BQ

=
1
AB+AP
+
1
BC+CQ

=
1
5+AP
+
1
5+CQ

=
(5+AP)+(5+CQ)
(5+AP)(5+CQ)

=
10+AP+CQ
25+5(AP+CQ)+AP•CQ

=
10+AP+CQ
50+5(AP+CQ)

=
1
5
点评:本题考查了二次函数压轴题,正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质(二次函数与一次函数)、平面图形的性质与应用(平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等).本题涉及考点较多,虽有一点的难度,但相信不少考生均可顺利解答.第(3)问中,需要注意平行四边形ABCD是菱形,这样后续的计算均可迎刃而解.
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35
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