Question

15．在“感恩节”前夕，我市某学生积极参与“关爱孤寡老人”的活动，他们购进一批单价为6元一双的“孝心袜”在课余时间进行义卖，并将所得利润全部捐给乡村孤寡老人，在试卖阶段发现：当销售单价是每双10元时，每天的销售量为200双，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少20双．
（1）求销售单价为多少元时，“孝心袜”每天的销售利润最大；
（2）结合上述情况，学生会干部提出了A、B两种营销方案．
方案A：“孝心袜”的销售单价高于进价且不超过11元；
方案B：每天销售量不少于20双，且每双“孝心袜”的利润至少为10元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设销售单价x元，利润为w元．由题意w=（x-6）[200-20（x-10）]，利用二次函数的性质即可解决问题．
（2）分别求出两种方案利润的最大值，即可判断．

解答 解：（1）设销售单价x元，利润为w元．
由题意w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
∵-20＜0，
∴x=13时，每天的销售利润最大，
∴销售单价为13元时，“孝心袜”每天的销售利润最大．

（2）方案A：“孝心袜”的销售单价高于进价且不超过11元；
∵w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
又∵6＜x≤11，
∴x=11时，w的值最大，最大值为5740元．

方案B：每天销售量不少于20双，且每双“孝心袜”的利润至少为10元．
∵w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
又∵16≤x≤19，
∴x=16时，w的值最大，最大值为5600元．
∵5740＜5600，
∴方案A的利润最大．

点评 本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=$\frac{b}{2a}$时取得．