Question

已知正方形ABCD与正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）当E点旋转到DA的延长线上时（如图（1）），则S_△ABE与S_△ADG的关系为______．
（2）当E点旋转到CB的延长线上时（如图（2）），则S_△ABE与S_△ADG的关系如何？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD与正方形AEFG中，AB=AD，AE=AG，∠BAD=90°，
所以∠BAE=∠DAG=90°，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴S_△ABE=S_△ADG；

（2）S_△ABE=S_△ADG．
理由如下：如图，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，
则∠BAH=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∵∠EAB+∠EAH=90°，∠GAH+∠EAH=90°，
∴∠EAB=∠GAH，
在△ABE和△AHG中，，
∴△ABE≌△AHG（AAS），
∴GH=EB，
∵S_△ABE=AB•EB，S_△ADG=AD•GH，
∴S_△ABE=S_△ADG．
分析：（1）利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形的面积相等即可；
（2）过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，根据同角的余角相等求出∠EAB=∠GAH，再利用“角角边”证明△ABE和△AHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GH=EB，然后根据三角形的面积公式列式即可得到两三角形面积相等．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形判定与性质，（2）作辅助线，构造出全等三角形，根据全等三角形对应边相等求出AB边上的高EB与AD边上的高GH相等是解题的关键，也是本题的难点．