Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似．则点P的坐标

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC，∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形．
①利用△BCD的三边，

DC

BC

=

2

3 2

=

1

3

，又

OA

OC

=

1

3

，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3-a，

AC

CD

=

PC

BD

，即

10

2

=

3-a

2 5

，
解得：a=-9，则P的坐标是（0，-9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3-b，则

AC

BC

=

PC

BD

，即

10

3 2

=

3-b

2 5

，
解得：b=-

1

3

，故P是（0，-

1

3

）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
则AP=1-d，当AC与CD是对应边时，

AC

CD

=

AP

BC

，即

10

2

=

1-d

3 2

，
解得：d=1-3

10

，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
则AP=1-e，当AC与DC是对应边时，

AC

CD

=

AP

BD

，即

10

3 2

=

1-e

2 5

，
解得：e=-9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：（0，0）或（0，-

1

3

）或（-9，0）．
故答案为：（0，0）或（0，-

1

3

）或（-9，0）．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．