Question

（2006•眉山）如图：∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B₁是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB₁C₁D₁．
（1）连续D₁D，求证：∠D₁DA=90°；
（2）连接CC₁，猜一猜，∠C₁CN的度数是多少？并证明你的结论；
（3）在ON上再任取一点B₂，以AB₂为边，在∠MON的内部作正方形AB₂C₂D₂，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知利用SAS判定△OAB₁≌△DAD₁，从而得到∠ADD₁=∠O=90°；
（2）作C₁H⊥ON于H．作C₁G⊥CD₁于G，那么C₁G=CH，只要证得△C₁GD₁≌△C₁B₁H，得出C₁G=C₁H；即可得出三角形CC₁H是等腰直角三角形，从而得出∠C₁CN的度数．
（3）和（1）（2）均一样，求法和证法都相同．
解答：（1）证明：∵∠D₁AD+∠B₁AD=90°，∠OAB₁+∠B₁AD=90°，
∴∠B₁AO=∠D₁AD，
∵AD₁=AB₁，AO=AD，
∴△OAB₁≌△DAD₁，∴∠D₁DA=∠O=90°；（D₁，D，C在同一条直线上）．


（2）解：猜想∠C₁CN=45°．
证明：作C₁H⊥ON于H．作C₁G⊥CD₁于G；
则有C₁G=CH．
∵∠C₁D₁C+∠AD₁D=90°，∠C₁B₁H+∠AB₁O=90°
∴∠C₁D₁C=∠C₁B₁H，
∵C₁D₁=B₁C₁，∠D₁C₁E=∠C₁HB₁=90°，
∴△C₁GD₁≌△C₁B₁H，
∴C₁G=C₁H，
又∵CH=C₁G，
∴直角三角形CHC₁是个等腰直角三角形，
∴∠C₁CN=45°．


（3）解：作图；
得∠ADD₂=90°（∠ADD₂=90°、∠C₂CN=45°均可）．
点评：本题考查了正方形的性质和全等三角形的应用等，本题中利用全等三角形得出所求的条件是解题的关键．