Question

【观察发现】
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究】
如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．
【拓展应用】
如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA，OB，OA，OB长分别为2

2

、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD．随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；
（2）结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；
（3）以OA为边做正方形OAGF，连接OG、BG，则OC=

2

OA=4，当G、O、B三点共线时，BG最长，此时BC=OC+OB=4+4=8，从而确定正确的答案．

解答：解：【观察发现】：DE=BG，DE⊥BG；

【深入探究】：【观察发现】中的结论任然成立，即DE=BG，DE⊥BG；
理由：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，
∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAG=∠DAE（1分），
∵在△BAG与△DAE中，

CB=CD ∠BAG=∠DAE AG=AE

，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴BG=DE，∠ABG=∠ADE，
设线段DE分别与BG、AB相交于点P、Q两点，
由∠BAD=90°得∠ADE+∠AQD=90°，
∴∠ABG+∠PQB=90°，
∴∠BPQ=90°，
即DE⊥BG；

【拓展应用】以OA为边做正方形OAGF，连接OG、BG，则OG=

2

OA=4，
由【深入探究】可得OD=BG，
当G、O、B三点共线时，BG最长，此时BC=OG+OB=4+4=8，
即线段OD长的最大值为8．

点评：本题考查了四边形的综合知识，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，利用勾股定理求解，可有助于提高解题速度和准确率．