Question

（2013•四会市二模）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．
（1）探究AE′与BF′的数量关系，
并给予证明；
（2）当α=30°，AB=2时，求：
①∠AE′O的度数；
②BF′的长度．

Answer 1

分析：（1）首先证明△AOE′≌△BOF′，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．易证△OME′是等边三角形，据此即可证明∠E′AO=90°，则∠AE′O的度数即可求得；
②在直角△AOB中，利用三角函数即可求得OB的长，然后在直角△OBF′中利用三角函数求得BF′的长．

解答：解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
又∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，则OE′=OF′，
在△AOE′和△BOF′中，

OE1=OF1 ∠AOE1=∠BOF1 OA=OB

，
∴△AOE′≌△BOF′
∴AE′=BF′；
（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．
∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，
∴∠AOE′=90°-30°=60°，
∴△OME′是等边三角形，
又∵AM=OA，
∴AE′⊥OM，
则∠E′AO=90°，
∴∠AOE′=90°-α=60°，
∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°-∠AOE′=30°；
②∵∠AOE′=90°-α=60°，∠E′OF′=90°，
∴∠AOF′=30°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOF′=60°，
又∵等腰直角△AOB中，OB=

2

2

AB=

2

，
∴BF′=

3

OB=

6

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，正确证明三角形全等是关键．