Question

已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．

(1)求证：△ABD∽△ADE；

(2)记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连结OD．　1分 　　∵DE是⊙O的切线， 　　∴OD⊥DE． 　　又∵DE∥BC， 　　∴OD⊥BC． 　　∴＝．　2分 　　∴∠BAD＝∠EAD． 　　∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC， 　　∴∠BDA＝∠DEA． 　　∴∠BAD＝∠EAD， 　　∴△ABD∽△ADE．　5分 　　(2)由(1)得＝，即AD2＝AB·AE　6分 　　设在△ABE中，AE边上的高为h，则： 　　∴S△ABE＝h·AE，且h＜AB． 　　由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形 　　∴S△DAF＝AD2．　8分 　　∴S△DAF＝S△BAE 　　∴△DAF＞△BAE．　9分