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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2013•安溪县质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按图（a）摆放，点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如图（b），△DEF从图（a）的位置出发，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，点P同时从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时移动即停止．记DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
    （1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
    （2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似；
    （3）当t为何值时，点P、Q、F在同一直线上．
    分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
    （2）需要分类讨论：△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况，由相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，把相关线段的长度代入，易求t的值；
    （3）过P作PN⊥AC于N，构建相似三角形：△PAN∽△BAC，则相似三角形的对应边成比例，即
    PN
    BC
    =
    AP
    AB
    =
    AN
    AC
    ，所以易得NQ=AQ-AN=8-t-（8-
    8
    5
    t）=
    3
    5
    t．连结QF，当点P、Q、F在同一直线上时，△QCF∽△QNP，则
    PN
    FC
    =
    NQ
    CQ
    ，即
    6-
    6
    5
    t
    9-t
    =
    3
    5
    t
    t
    ，由此可以求得t的值．
    解答：解：（1）依题意，得EC=QC=t．
    ∴BE=6-t，AQ=8-t，AB=
    		BC2+AC2
    =10．
    ∵BP=2t，
    ∴AP=10-2t．
    当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP=AQ，
    ∴10-2t=8-t，解得t=2，
    即当t=2时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

    （2）∵∠ACB=90°，
    ∴当∠AQP=90°即△APQ∽△ABC时，
    AQ
    AP
    =
    AC
    AB
    ，∴
    8-t
    10-2t
    =
    4
    5
    ，解得t=0（舍去）；
    当∠APQ=90°即△APQ∽△ACB时，
    AP
    AQ
    =
    AC
    AB
    ，∴
    10-2t
    8-t
    =
    4
    5
    ，解得t=3，
    ∴当t=3时，△APQ与△ABC相似；

    （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
    过P作PN⊥AC于N，∴△PAN∽△BAC，
    ∴
    PN
    BC
    =
    AP
    AB
    =
    AN
    AC
    ，即
    PN
    6
    =
    10-2t
    10
    =
    AN
    8
    ，
    ∴PN=6-
    6
    5
    t，AN=8-
    8
    5
    t，
    ∴NQ=AQ-AN=8-t-（8-
    8
    5
    t）=
    3
    5
    t．
    ∵点P、Q、F在同一直线上，
    ∴△QCF∽△QNP，
    ∴
    PN
    FC
    =
    NQ
    CQ
    ，
    ∴
    6-
    6
    5
    t
    9-t
    =
    3
    5
    t
    t
    ，
    解得t=1
    ∴当t=1时，P、Q、F三点在同一直线上．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．
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    30
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    		5
    		5
    ．

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    （2013•安溪县质检）计算：
    		16
    =
    4
    4
    ．

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