Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．

Answer 1

分析：（I）要证明RP=RQ，需要证明∠PQR=∠RPQ，连接OQ，则∠OQR=90°；根据OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根据等角的余角相等即可证明；
（II）延长AO交圆于点C，首先根据勾股定理求得BP的长，再根据相交弦定理求得QP的长即可．

解答：（Ⅰ）证法一：
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．

（Ⅱ）解法一：
作直径AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP=

12+22

=

5

由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC．
即PQ×

5

=1×3，
∴PQ=

3 5

5

．
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，
设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x²=（x-1），（x+3）
解得：x=

3

2

，
又由△BPO∽△RPF得：

PF

OP

=

PR

BP

，
∴PF=

3 2

5

×1=

3 5

10

，
由等腰三角形性质得：PQ=2PF=

3 5

5

．

点评：本题考查了切线的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相交弦定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中．