Question

如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O₁的圆心O₁在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O₂的圆心O₂在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O₁与半圆O₂相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．
（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；
（2）求函数y的最小值．

Answer 1

分析：（1）想要建立起以x为自变量的函数y的解析式，则必须要找出中间的等量关系，利用这个等量关系，把y用x表示出来．
（2）根据x的取值范围，利用二次函数最值的求法即可解出此问．

解答：解：（1）设两圆半径分别为R、r，
y=

1

2

π(R2+r2)，
x=r+R，
通过变形把R²和r²用“x=R+r”的代数式表示，作基本辅助线，如图，半径分别为r、R的圆1、圆2外切于C，连接O₁O₂．
y=

1

2

π  (R2+ r2)=

1

2

π[(R+r)2-2Rr]，
且有（R+r）²=（1-R）²+（1-r）²，化简得：r+R+Rr=1，
所以：y=

1

2

π{(R+r)2-2[1-(R+r)] }=

π

2

(x2+2x-2)，
所以建立的以x为自变量的函数y的解析式为：y=

1

2

π{(R+r)2-2[1-(R+r)] }=

π

2

(x2+2x-2)，

（2）∵（

R

-

r

）²≥0，
∴R+r≥2

Rr

，
∴

(R+r)2

4

≥Rr，Rr=1-（R+r），
∴（R+r）²+4（R+r）-4≥0，
又∵R+r≥0，
∴R+r≥2

2

-2，即x≥2

2

-2，
故函数：y=

1

2

π{(R+r)2-2[1-(R+r)] }=

π

2

(x2+2x-2)，
当x=2

2

-2时，有ymin=(3-2

2

)π，
答：函数y的最小值为ymin=(3-2

2

)π．

点评：本题看似考查几何，实际考查的还是二次函数问题，以及二次函数的最值求法．