Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为

 

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Answer 1

分析：连接AC，延长MN交PC的延长线于点O，根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可以得到四边形AMOC是平行四边形，且N时MO的中点，所以△MPO是直角三角形，又菱形的对角线平分一组对角，所以∠BAC=50°，所以∠NPC=∠MOC=50°．

解答：解：连接AC，延长MN交PC延长线于点O，
∵M、N分别是边AB和BC的中点，
∴MN为△ABC中位线，
∴MN∥AC，MN=

1

2

AC，
在菱形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，
∴在四边形AMOC中，AM∥OC，AC=MO，
∴四边形AMOC为平行四边形，
∵∠BAD=100°，
∴∠BAC=

1

2

∠BAD=50°，
∴∠MOC=∠BAC=50°，
∵MN=

1

2

AC，
∴MN=ON，
∴PN为△MPO的中线，
∵MP⊥CD于点P，
∴∠MPO=90°，
∴△MPO为直角三角形，
∴PN=ON（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴△NPO为等腰三角形，
∴∠NPC=∠MOC=50°．
故答案为：50°．

点评：本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，作辅助线构造出平行四边形和直角三角形是解题的关键，有一定难度．