Question

如图1，点A、B分别在x轴的原点左、右两边，点C在y轴正半轴，点F（0，-1），S_{四边形AFBC}=15，抛物线y=ax²-2ax+4经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上一点，且tan∠PCA=

3

2

，求出点P的坐标．
（3）如图2，过A、B、C三点作⊙O′交抛物线的对称轴于N，点M为弧BC上一动点（异于B、C），E为MN上一点，且∠EAB=

1

2

∠MNB，ES⊥x轴于S，当M点运动时，问的

ME•NE

ES

值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：计算题,代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由抛物线的解析式不难得出点C的坐标，则OC长可知；四边形AFBC的面积可由△ABC、△ABF的面积和得出，所以根据四边形AFBC的面积即可求出AB的长，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程可由抛物线的解析式得出，那么A、B两点的坐标即可求出，任取一点代入抛物线的解析式中即可得到待定系数的值．
（2）在（1）中，求出了OA=2，根据OA、OF、OC的长不难看出：OA²=OC•OF，显然△CAF正好是直角三角形，且∠CAF=90°，延长AF交CP于D，由tan∠PCA的值即可求得AD的长，∠OAF的正切值易求得，通过解直角三角形即可得到点D的坐标，在已知C、D两点坐标的情况下利用待定系数法可求出直线CD（即直线CP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．
（3）题目求的是

ME•NE

ES

的值，所以可以由与ES相关的相似三角形来解；由∠EAB=

1

2

∠MNB可知，直线AE正好经过劣弧MB的中点（设中点为G），过点G作直径GH，连接HM、MG，显然△HMG也是直角三角形，且∠MHG=∠CAB（它们对应的是相等的劣弧），那么Rt△MHG∽Rt△SAE，可得到的是MG：2R=ES：AE，即

AE•MG

ES

=2R，而ME•NE=AE•EG，所以只需判断出MG和EG的数量关系就能确定该题的结论，通过观察图形，可以猜测的结论是MG=EG，即需要求证的是∠GME=∠GEM；∠GME对应的是劣弧NG（即

BG

和

NB

），而∠GEM=∠MAG+∠AMN（三角形外角的性质），那么∠GEM对应的是

AN

和

MG

；这四段劣弧中，

MG

=

BG

，

AN

=

BN

，所以∠GEM=∠GME，即GM=GE，那么该题的结论已经明确．

解答：解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+4知：对称轴x=1，C（0，4）；
∵S_{四边形AFBC}=S_△ABC+S_△ABF=

1

2

AB（OC+OF）=

1

2

AB（4+1）=15，
∴AB=6；
又∵A、B两点关于x=1对称，且AB=6，
∴A（-2，0）、B（4，0）；
将B（4，0）代入y=ax²-2ax+4中，得：
16a-8a+4=0，解得：a=-

1

2

∴抛物线的解析式：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）在△ACF中，OA=2、OF=1、OC=4，即：

OA

OF

=

OC

OA

，
又∵∠COA=∠AOF，
∴△AOC∽△FOA，
∴∠CAO=∠AFO，∠CAF=∠CAO+∠FAO=∠AFO+∠FAO=90°；
延长AF交直线CP于D，如右图1；
在Rt△ADC中，AC=

OC•CF

=2

5

，tan∠DCA=

3

2

，则：AD=3

5

；
又∵tan∠OAF=

OF

OA

=

1

2

，
∴sin∠OAF=

5

5

，cos∠OAF=

2 5

5

；
由AD=3

5

可解得：D（4，-3）；
设直线CD：y=kx+4，代入D点的坐标可得：k=-

7

4

；
联立直线CD和抛物线的解析式，得：

y=- 7 4 x+4 y=- 1 2 x2+x+4

，
解得

x1=0 y1=4

、

x2= 11 2 y2=- 45 8

∴P（

11

2

，-

45

8

）．

（3）设圆心O′的坐标为（1，y），则：O′A²=9+y²、O′C²=1+（y-4）²=y²-8y+17，
∵O′A=O′C，
∴9+y²=y²-8y+17，解得：y=1，
∴⊙O′的半径R=

10

；
延长AE，交⊙O′于点G，如右图2；
∵∠EAB=

1

2

∠MNB，
∴G是

MB

的中点，即：

MG

=

BG

；
过G作⊙O′的直径GH，连接GH、HM、MG，则△HMG是直角三角形，且∠HMG=90°；
∵∠MAG=∠EAS（

MG

=

BG

），∠HMG=∠ESA=90°，
∴△HMG∽△ASE，得：

HG

AE

=

MG

ES

，即：

AE•MG

ES

=HG=2R…①；
连接AM、AN；
∵

MG

=

BG

、

AN

=

BN

，
∴∠GAB=∠MAE，∠AME=∠BAN；
对于△AEM有：∠GEM=∠MAE+∠AME；
又∵∠GMN=∠GAB+∠BAN，
∴∠GEM=∠GMN，即MG=GE，代入①式，得：

AE•GE

ES

=2R=2

10

；
由相交弦定理得：ME•NE=AE•EG，∴

ME•NE

ES

=2

10

；
综上，

ME•NE

ES

值不会发生变化，且值为2

10

．

点评：这道二次函数综合题的难度较大；第一题中，通过四边形的面积求出A、B点的坐标是求出函数解析式的重要步骤；第二题中，判断出∠CAF的度数可以给解题带来很大的便利；最后一题是一道几何综合题，综合考查了圆和相似三角形的重要知识点，其中包含：圆周角定理、相交弦定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等，构建相似三角形和等腰三角形是两个比较难的地方．