Question

在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；

（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；

（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）2（2）当t=2或或时，△PQB为直角三角形（3）存在t=或t=2，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上

【解析】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°。

∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOQ=45°。

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°。∴AO=AD=2，OD=2。

∵点P的速度为每秒个单位长度，∴t=（秒）。

（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，

如图，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°。

∵OP=t，∴OG=PG=t。∴点P（t，t）。

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根据勾股定理可得：

。

①若∠PQB=90°，则有PQ²+BQ²=PB²，即： ，

整理得：4t²﹣8t=0，解得：t₁=0（舍去），t₂=2，∴t=2。

②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，即： ，

整理得：t²﹣10t+20=0，解得：。

∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形。

（3）存在这样的t值。理由如下：

将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形。

∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t）。

∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2）。

代入，得：2t²﹣13t+18=0，解得：t₁=，t₂=2。

∴存在t=或t=2，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上。

（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值。

（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可。

（3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值。