Question

如图，抛物线的顶点A的坐标（0，2），对称轴为y轴，且经过点（-4，4）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点B的坐标为（0，4），P为抛物线上一点（如图），过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接PB．求证：PQ=PB．
（3）若点C（-2，4），利用（2）的结论．判断抛物线上是否存在一点K，使△KBC的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：由于抛物线的顶点为（0，2），设其解析式为：y=ax²+2；
将点（-4，4）代入上式，得：a×（-4）²+2=4，a=
即：抛物线的解析式：y=x²+2．

（2）证明：设P（a，a²+2），则PQ=a²+2．
已知：B（0，4），则 PB==a²+2；
即：PQ=PB．

（3）解：如图，过C作CD⊥x轴于D，交抛物线于点K；
由于BC是定值，若△CKB的周长最小，那么 CK+KB 的值需最小．
由（2）知：KD=KB，则CD=CK+KD=CK+KB；
在抛物线上取K点外的任一点P，则：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP
因此K点即为所求．
已知C（-2，4），将x=-2代入y=x²+2中，得：y=，即 K（-2，）．
△CKB的最小周长：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．
分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可将解析式设为y=a（x-k）²+h的形式，再将另一点的坐标代入即可确定待定系数．
（2）首先设P点的坐标，然后表示出PQ、PB的长，进行比较即可．
（3）BC的长是定值，若△KBC的周长最小，那么KC+KB的长最小，结合（2）的结论，当CK∥y轴，即过C作x轴的垂线时，该垂线和抛物线的交点即为符合条件的K点．
点评：该二次函数综合题主要考查了：函数解析式的确定、直角坐标系中两点间的距离公式等知识，难度适中．准确找出K点位置是解答（3）的关键．