Question

二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为y=ax²，

将点A（1，）代入y=ax²得：a=，

∴二次函数的解析式为y=x²；

（2）证明：∵点P在抛物线y=x²上，

∴可设点P的坐标为（x， x²），

过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x²﹣1，PB=x，

∴Rt△BPF中，

PF==x²+1，

∵PM⊥直线y=﹣1，

∴PM=x²+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥x轴，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴x²+1=4，

解得：x=±2，

∴x²=×12=3，

∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．