Question

11．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为①②③⑥
①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．

Answer 1

分析 首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCD≌△ACE；由△BCD≌△ACE可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．

解答 解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
故①成立；
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBD}\\{AC=BC}\\{∠ACB=∠ACD=60°}\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△AFC，
∴BG=AF．
故②成立；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠CEA}\\{CE=CD}\\{∠ACD=∠DCE=60°}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△ECF，
故③成立；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠DBC+∠BDC=60°，
∴∠DBC+∠AEC=60°．
∵∠AOB=∠DBC+∠AEC，
∴∠AOB=60°．
故⑥成立；
在△ADB和△CEA中，只有AB=AC，BD=AE，两边对应相等不能得到两三角形全等；故④不成立；
若DE=DG，则DC=DG，
∵∠ACD=60°，
∴△DCG为等边三角形，故⑤不成立．
∴正确的有①②③⑥．
故答案为①②③⑥．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．