（1）证明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分别为⊙O
1、⊙O
2的直径，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；
（2）证明：∵∠DO
2C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O
2D=O
2C，
∴∠C=∠O
2DC=12（180-∠DO
2C）=67.5°，
∴∠4=22.5°，
∵∠O
2DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；
（3）解：∵BF=6CD，
∴设CD=k，则BF=6k，
连接AE，则AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴
，
∴AE•BF=BD•AF，
又∵在△AO
2E和△DO
2C中，AO=DO
2，∠AOE=∠DOC，O
2E=O
2C，
∴△AO
2E≌△DO
2C，
∴AE=CD=k，
∴6k
2=BD•AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO
2A=90°，O
2A=O
2C，
∴BC=AB，
∴6k
2=（BC-k）（6k-BC），
∴BC
2-7kBC+12k
2=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
当BC=3k时，BD=2k，
∵BD、BF的长是关于x的方程x
2-（4m+2）x+4m
2+8=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD•BF=12k
2=4m
2+8，
整理，得：4m
2-12m+29=0，
∵△=（-12）
2-4×4×29=-320＜0，此方程无实数根，
∴BC=3k舍去，
当BC=4k时，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k
2=4m
2+8，
整理，得：m
2-8m+16=0，解得：m
1=m
2=4，
∴原方程可化为x
2-18x+72=0，
解得：x
1=6，x
2=12，
∴BD=6，BF=12．
∴CD=2，∵AF=AD，
∴设AF=AD=x，
∴BF-x=AB，
∴AB
2=AD
2+BD
2，
∴（12-x）
2=x
2+36，
解得：x=4.5，
∴AB=12-4.5=7.5，
cos∠ABD=
=
=
．
分析：（1）运用直径所对圆周角=90°，等角的余角相等，对顶角相等证明；
（2）只需证明∠F=∠ADF即可．由A，B，D，O
2四点共圆知∠ABD=∠DO
2C=45°，∠BAD=45°，△DCO
2中，O
2C=O
2D，顶角已知，求出底角∠O
2DC的度数，∠ADF=90°-∠O
2DC，∠F=∠O
2DC-∠ABD，可知∠F=∠ABD；
（3）由已知条件，可以知道，首先应求出BD与CD的关系，这样BD与BF都用CD表示，再由根与系数的关系，求出m的值，回代方程，求出BD，BF的值，根据根的判别式进行检验，求出AB的长即可得出cos∠ABD的值．
点评：此题主要考查了相切两圆的性质，应注意（1）在圆中证明两个角相等时，通常将它们等量转化；（2）证明两边相等时，如果两边在同一个三角形中，则证明它们所对的角相等；（3）本问中有四个未知量，BF，CD，BD，m，而只有三个方程BF=6CD，根与系数的关系可以列出两个，所以要根据条件先求出BD与CD的关系，这样三个未知数，三个方程可以求出结果．
⊙O2于B、C两点，延长D02交⊙02于E，交BA延长线于F，B02交AD于G，连接AC．
⊙O2于B、C两点，延长D02交⊙02于E，交BA延长线于F，B02交AD于G，连接AC．
