Question

图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF．②求证：AE²+BF²=EF²；
（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：AE²+BF²=EF²仍成立．

Answer 1

（1）①证明：如右图4，连接CD，
∵图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，
∴放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形的直角边，
∴D为AB中点，CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，
∴∠4=∠A=45°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDF和△ADE中
，
∴△CDF≌△ADE，
∴DE=DF．

②证明：∵由①知△CDF≌△ADE，
∴CF=AE，
与①证明△CDF≌△ADE类似可证△CED≌△BFD，
得出CE=BF，
∵在△CEF中，CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²．

（2）证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如右图5，连接GE，
∵根据旋转得出：CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，
∴∠GAE=90°，
∵∠3=45°，
∴∠2+∠4=90°-45°=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵在△CGE和△CFE中
，
∴△CGE≌△CFE，
∴GE=EF，
∵在Rt△AGE中，AE²+AG²=GE²，
∴AE²+BF²=EF²．
分析：（1）①连接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，证出△CDF≌△ADE即可；②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理证△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根据勾股定理得出CE²+CF²=EF²，代入求出即可；
（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，连接GE，求出∠GCE=∠ECF，CG=CF，根据SAS证△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：此类问题证明过程类似．