Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．

（1）点F在边BC上．

①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；

②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？

（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得=？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①如图1

∵DE⊥AF，

∴∠AOE=90°，

∴∠BAF+∠AEO=90°，

∵∠ADE+∠AEO=90°，

∴∠BAE=∠ADE，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，

在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE（ASA）

∴AE=BF，

∴1+t=2t，

解得t=1．

②如图2

∵△EBF∽△DCF

∴=，

∵BF=2t，AE=1+t，

∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，

∴=，

解得，t=，t=（舍去），

故t=．

（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，

A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）

EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，

BG所在的直线函数关系式是：y=2x，

∵BG==2

∵=，

∴BO=，OG=，

设O的坐标为（a，b），

解得

∴O的坐标为（，）

把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得

=×+3﹣t，

解得，t=（舍去），t=，

②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，

A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）

EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，

BG所在的直线函数关系式是：y=2x，

∵BG==2

∵=，

∴BO=，OG=，

设O的坐标为（a，b），

解得

∴O的坐标为（，）

把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得

=×+3﹣t，

解得：t=．

综上所述，存在t=或t=，使得=．