Question

如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD=DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）过P做BC的平行线至AC于F，易证△APF是等边三角形，再证明△PFD与△QCD全等，得出结论；
（2）利用△APF是等边三角形，PE⊥AC，得出AE=EF，再由△PFD≌△QCD，得出CD=DF，由此得出DE与AC的关系解决问题．

解答：（1）证明：
如图，

过P做PF∥BC交AC于点F，
∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFP=60°，
∴△APF是等边三角形；
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ
∴△PFD≌△QCD，
∴PD=DQ．

（2）△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
△PFD≌△QCD，
∴CD=DF，
DE=EF+DF=

1

2

AC，
∵AC=1，
DE=

1

2

．

点评：此题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．