Question

半径分别为r₁，r₂的⊙O₁和⊙O₂相离，并且一条外公切线长度为t₁，一条内公切线的长度为t₂，则t₁²-t₂²=

 

r₁r₂；如果一条外公切线与连心线所夹锐角为α，则sinα=

 

；如果一条内公切线与连心线所夹锐角为β，则sinβ=

 

．

Answer 1

分析：连接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D作O₂E⊥O₁A于E，延长O₁E到F使CF=O₂D=r₂，连接O₂F，根据直角三角形中三边长度即可求得锐角的三角函数值，即可解题．

解答：解：如图，连接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D，
作O₂E⊥O₁A于E，延长O₁E到F使CF=O₂D=r₂，连接O₂F，
则∠EO₂O₁=α，∠FO₂O₁=β
∴sinα=

|r1-r2|

o1o2

，sinβ=

r1+r2

o1o2

，
在Rt△EO₁O₂中，t₁²=O₁O₂²-（r₁-r₂）²①
在Rt△O₁FO₂中，t₂²=O₁O₂²-（r₁+r₂）²②
①-②得t₁²-t₂²=4r₁r₂，
故答案为4、

|r1-r2|

o1o2

、

r1+r2

o1o2

．

点评：本题考查了三角函数值的求值，考查了直角三角形中三角函数值的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的运用．