Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°P为底BC上一点（不与B、C重合）连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求梯形的腰AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-∠B=120°，
∵∠APE=∠B=60°，
∴∠APB+∠CPE=180°-∠APE=120°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：过点A作于AF∥CD交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF=AD=3cm，AF=CD，
∴BF=BC-CF=7-3=4（cm），
∵AB=CD，
∴AB=AF，
∵∠B=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=4cm．
分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，可得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，易证得∠BAP=∠CPE，即可得△ABP∽△PCE；
（2）首先过点A作于AF∥CD交BC于点F，可得四边形ADCF是平行四边形，继而可证得△ABF是等边三角形，即可求得答案．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．