Question

如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点A（1，6）、B（m，2）．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）直接写出不等式ax+b-

k

x

＞0的解集；
（3）如图，作等腰梯形OBCD．其中，点D在x轴上，BC∥OD，OB=CD．过点C作CE⊥x轴于点E，且与反比例函数的图象交于点P．当点P恰为CE的中点时，求梯形OBCD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式,勾股定理,等腰梯形的性质

专题：综合题

分析：（1）用待定系数法就可以求出两个函数的关系式．
（2）设y₁=ax+b，y₂=

k

x

（x＞0），如图1，结合图象即可解决问题．
（3）过点B作BH⊥x轴，垂足为H，如图2，由条件可求出点P的坐标，从而可以求出BC、OD的长，就可求出梯形OBCD的面积．

解答：解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=1×6=6．
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

（x＞0）．
∵点B（m，2）在反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象上，
∴2m=6，即m=3．
∴点B的坐标为（3，2）．
∵点A（1，6）、B（3，2）在一次函数y=ax+b的图象上，
∴

a+b=6 3a+b=2

．
解得：

a=-2 b=8

．
∴一次函数的解析式为y=-2x+8．

（2）设y₁=ax+b，y₂=

k

x

（x＞0），如图1，
结合图象可得：当1＜x＜3时，y₁＞y₂，即ax+b＞

k

x

．
因而不等式ax+b-

k

x

＞0的解集为1＜x＜3．

（3）过点B作BH⊥x轴，垂足为H，如图2，
∵BC∥OD，CE⊥x轴，B（3，2），
∴CE=2，OB=

32+22

=

13

．
∴CD=OB=

13

．
∴ED=

CD2-CE2

=3．
∵点P为CE的中点，
∴PE=1．
∴y_P=1．
∵点P在反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象上，
∴x_P=6．
∴OE=6，x_C=x_P=6．
∴OD=OE+ED=9，BC=6-3=3．
∴S_梯形OBCD=

1

2

（BC+OD）•CE=

1

2

（3+9）×2=12．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、等腰梯形的性质、勾股定理等知识，还考查了数形结合的思想，有一定的综合性．