Question

在平面直角坐标系中，A（-4，-2），B（-2，-2），C（-1，0）
（1）将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得△A₁B₁C，则点A₁的坐标为

 

．
（2）将△A₁B₁C向右平移6个单位得△A₂B₂C₂，则点B₂的坐标为

 

．
（3）从△ABC到△A₂B₂C₂能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为

 

在旋转变换中AB所扫过的面积为

 

．

Answer 1

分析：（1）在（-1，-2）处取点D，可知A，B，D三点位于同一直线上，且△ACD为直角三角形，即∠ADC=90°．我们让△ACD绕C点旋转，易知CD与x轴重合，A₁D∥y轴，即A′横坐标的数值等于CD的长度加上OC的长度，纵坐标等于AD的长度，又A₁位于第二象限，故A₁的坐标为（-3，3）．
（2）由（1）可知，B₁的坐标为（-3，1），A₁B₁C向右平移6个单位得△B₂C₂，B₁的横坐标向右平移6个单位，即B₂的横坐标为-3+6=3，即点B₂的坐标为（3，1）．
（3）要求其中心，我们可以连接AA₂，CC₂，分别求他们的中垂线的方程，他们的交点就是旋转中心，易知CC₂的中垂线为x=2，AA₂的斜率为

5

7

，其中点Q坐标为（-

1

2

，

1

2

），所以其中垂线的方程为5y+7x+1=0，与x=2联立，解得交点P坐标为（2，-3）．

AB

的面积等于扇形PAB的面积减去△PAB的面积，易知PA=

37

，PQ=

37 2

，可知∠APQ=60°，即∠APA₂=120°．所以S

AA2

=S_扇PAA2-S_△APQ．同理可求出S

CC2

，S

BB2

．即S=S

AA2

+S

CC2

+S

BB2

．

解答：解：（1）取点D（-1，-2），可知A，B，D三点同一直线上，所以△ACD为直角三角形（∠ADC=90°），△ACD绕C点旋转，易知CD与x轴重合，A₁D∥y轴，即A′横坐标的数值等于CD的长度加上OC的长度，纵坐标等于AD的长度，又A₁位于第二象限，故A₁的坐标为（-3，3）．A₁（-3，3）；

（2）由（1）可知，B₁的坐标为（-3，1），A₁B₁C向右平移6个单位得△B₂C₂，B₁的横坐标向右平移6个单位，即B₂的横坐标为-3+6=3，即点B₂的坐标为（3，1）．B₂（3，1）；

（3）连接AA₂，CC₂，易知AA₂的斜率为

5

7

，其中点Q的坐标为（-

1

2

，

1

2

），所以其中垂线的方程为5y+7x+1=0，CC₂的中垂线为x=2，与x=2联立，解得交点P坐标为（2，-3）．易知PA=

37

，PQ=

37 2

，可知∠APQ=60°，即∠APA₂=120°．所以S

AA2

=S_扇PAA2-S_△APQ．同理可求出S

CC2

，S

BB2

．即S=S

AA2

+S

CC2

+S

BB2

，经计算S=5π．

点评：此题较为复杂，是对学生对旋转问题的灵活运用以及对学生要求一定的计算能力．