Question

20．如图，抛物线y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2，与x轴负半轴交于A点，与y轴交于B点，点H在第四象限的抛物线上，BH交x轴于E点，且∠OAB=∠ABE，求H点的坐标．

Answer 1

分析 先求出抛物线于x的交点A的坐标和与y轴交点B的坐标，设点E的坐标为（a，0），由EB=EA，列出关于a的方程，求出a的值，即点E的坐标，再由点B的坐标，求出直线BE的解析式．最后由直线和抛物线的解析式求得点H的坐标．

解答 解：令y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2=0，
解得：x₁=-1，x₂⁼$\frac{12}{5}$，
∴A（-1，0），B（0，2）
设M（a，0）
∴EA=a+1，EB=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$，
∵∠OAB=∠ABE，
∵EA=EB
∴a+1=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，0）
设直线BE的解析式为y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
∴直线BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{6}{x}^{2}+\frac{7}{6}x+2}\\{y=-\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
故H（3，-2）．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点和一次函数解析式的求法，解决问题的关键是根据EA=EB，列出方程求出点E的坐标．