Question

（2013•历城区三模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）

• A．AD=BE=5cm
• B．cos∠ABE=

  3

  5

• C．当0＜t≤5时，y=

  2

  5

  t2
• D．当t=

  29

  4

  秒时，△ABE∽△QBP

Answer 1

分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．

解答：解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故A选项正确；

又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=

BE2-AE2

=

52-32

=4，
∴cos∠ABE=

AB

BE

=

4

5

，故B选项错误；

如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=

AB

BE

=

4

5

，
∴PF=PBsin∠PBF=

4

5

t，
∴当0＜t≤5时，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

t•

4

5

t=

2

5

t²，故C选项正确；

当t=

29

4

秒时，点P在CD上，此时，PD=

29

4

-BE-ED=

29

4

-5-2=

1

4

，
PQ=CD-PD=4-

1

4

=

15

4

，
∵

AB

AE

=

4

3

，

BQ

PQ

=

4

3

，
∴

AB

AE

=

BQ

PQ

，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故D选项正确．
故选B．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．