Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式．
（3）在原图中，连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）假设存在，从存在出发得到△PBC∽△DAP，利用相似三角形得到

PB

DA

=

BC

AP

，从而得到有关t的方程，求解即可得到答案；
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求得结论即可；
（3）根据题意分△ABC∽△DAP和△PBQ∽△ABC两种情况列出比例式后即可用含有m的代数式表示出线段BQ的值即可．

解答：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），设AP=x
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10-x

4

=

4

x

，
∴x²-10x+16=0
解得：x=2或8，
∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），

∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，（5分）
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，（6分）
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的
函数关系式为：S_{四边形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP
=DA×AB-

1

2

×DA×AP-

1

2

×PB×BQ
=4m-

1

2

×4×（m-4）-

1

2

×4×（m-4）=16．
（3）如下图，∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠BPQ=∠ADP，
∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，
∴△ABC∽△DAP，
∴

AB

DA

=

BC

AP

，
即

m

4

=

4

AP

，
∴AP=

16

m

．
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，

PB

AB

=

BQ

BC

，即

m- 16 m

m

=

BQ

4

，
∴BQ=4-

64

m2

．

点评：本题考查了相似形的综合知识，解题的关键是从复杂的几何图形中整理出相似三角形的模型并利用相似三角形的知识解决问题，此类考题是中考的热点考题之一，应重点掌握．