Question

如图，A，D是公园中人工湖边的两棵树，AB，BC，CD是公园内的甬路．小明同学想测出A，D两点间的距离．于是他进行了如下测量：B点在A点北偏东α方向，C点在B点北偏东β方向，C点在D点正东方向．你认为他还需要测出AB，BC，CD中哪些线段的长？并根据小明的测量和你的判断推导出AD的表达式．

Answer 1

解：可以只测量AB，BC的长度．
过B点作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
由题意知，AD⊥CD，∴四边形BFDE为矩形．
∴BF=DE．
在Rt△ABE中，AE=AB•cosα；
在Rt△BCF中，BF=BC•cosβ
∴AD=AE+DE=AE+BF=AB•cosα+BC•cosβ 注：若测量AB，CD的长度．
则AD=AB•cosα+（CD-AB•sinα）•cotβ
若测量BC，CD的长度．
则AD=BC•cosβ+（CD-BC•sinβ）•cotα．
分析：过点B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分别为E、F，已知AD=AE+ED，则分别求得AE、DE的长即可求得AD的长．
点评：本题考查了方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．